量子力学学习笔记
基于曾谨言《量子力学》第五版II卷
前言
本学习笔记基于曾谨言教授所著《量子力学》第五版第二卷内容，系统整理了量子力学的核心概念、重要原理和关键公式推导。 内容涵盖角动量理论、定态问题、微扰理论、散射理论、量子跃迁、多体问题及相对论量子力学等高级主题。
本笔记旨在帮助读者深入理解量子力学的基本原理和数学表述，掌握解决复杂量子力学问题的方法和技巧。 每个章节均包含详细的公式推导、物理意义解释以及应用示例，适合作为研究生量子力学课程的辅助学习材料。
第1章：量子力学的基本原理
1.1 波函数与薛定谔方程
量子力学中，微观粒子的状态由波函数 \(\psi(\boldsymbol{r}, t)\) 描述，它满足薛定谔方程：
\[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\boldsymbol{r}, t) = \hat{H}\psi(\boldsymbol{r}, t) \]
其中 \(\hat{H}\) 是哈密顿算符，对于单粒子在势场 \(V(\boldsymbol{r}, t)\) 中运动的情况：
\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\boldsymbol{r}, t) \]
物理意义
波函数的模方 \(|\psi(\boldsymbol{r}, t)|^2\) 表示在时刻 \(t\)、位置 \(\boldsymbol{r}\) 处单位体积内找到粒子的概率，即概率密度。 这就是玻恩对波函数的统计诠释。
薛定谔方程的推导
薛定谔方程是量子力学的基本方程，不能从更基本的原理推导出来，但可以通过类比和合理的假设得到：
- 对于自由粒子，其波函数可以表示为平面波： \[ \psi(\boldsymbol{r}, t) = A e^{i(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{r} - Et)/\hbar} \]
- 对时间求偏导： \[ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = E\psi \]
- 对空间坐标求二阶偏导： \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi = \frac{p^2}{2m}\psi \]
- 结合经典力学中的能量关系 \(E = \frac{p^2}{2m} + V\)，推广得到薛定谔方程。
注意事项
薛定谔方程是一个非相对论性方程，它不满足洛伦兹协变性。对于高速运动的粒子，需要使用相对论量子力学方程，如狄拉克方程或克莱因-戈登方程。
1.2 量子态的描述
在量子力学中，系统的量子态可以用希尔伯特空间中的一个矢量（态矢量）来描述，通常用狄拉克符号表示为 \(|\psi\rangle\)，称为右矢。 其共轭转置称为左矢，表示为 \(\langle\psi|\)。
态矢量的归一化
\[ \langle\psi|\psi\rangle = 1 \]
态矢量的正交性
\[ \langle\psi|\phi\rangle = 0 \quad (\text{若} \, |\psi\rangle \text{与} \, |\phi\rangle \text{正交}) \]
任意量子态可以用一组正交归一完备基矢展开：
\[ |\psi\rangle = \sum_n c_n |n\rangle \]
其中展开系数 \(c_n = \langle n|\psi\rangle\) 表示态 \(|\psi\rangle\) 在基矢 \(|n\rangle\) 上的投影，其模方 \(|c_n|^2\) 表示测量时发现系统处于态 \(|n\rangle\) 的概率。
| 表示方式 | 符号 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 狄拉克符号 | \(|\psi\rangle, \langle\psi|\) | 一般理论表述 |
| 波函数 | \(\psi(\boldsymbol{r}, t)\) | 坐标表象 |
| 动量波函数 | \(\phi(\boldsymbol{p}, t)\) | 动量表象 |
| 矩阵 | \((a_{ij})\) | 有限维希尔伯特空间 |
1.3 力学量与算符
量子力学中，每一个可观测的力学量都对应一个线性厄米算符。厄米算符满足：
\[ \hat{A}^\dagger = \hat{A} \]
其中 \(\hat{A}^\dagger\) 是算符 \(\hat{A}\) 的厄米共轭。厄米算符的本征值是实数，且属于不同本征值的本征函数彼此正交。
基本力学量对应的算符
位置算符
\[ \hat{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{r} \]
动量算符
\[ \hat{\boldsymbol{p}} = -i\hbar\nabla \]
角动量算符
\[ \hat{\boldsymbol{l}} = \hat{\boldsymbol{r}} \times \hat{\boldsymbol{p}} \]
能量算符（哈密顿算符）
\[ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{r}) \]
算符的对易关系
两个算符 \(\hat{A}\) 和 \(\hat{B}\) 的对易子定义为：
\[ [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \]
重要的对易关系：
\[ [\hat{x}_i, \hat{p}_j] = i\hbar\delta_{ij} \]
\[ [\hat{l}_i, \hat{l}_j] = i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{l}_k \]
\[ [\hat{H}, \hat{A}] = 0 \quad (\text{若} \, \hat{A} \text{是守恒量}) \]
物理意义
若两个算符对易（即对易子为零），则它们可以同时具有确定值，存在共同本征态。若它们不对易，则不能同时精确测量，这就是海森堡不确定关系的来源。
1.4 态叠加原理
态叠加原理是量子力学的基本原理之一，它指出：如果 \(|\psi_1\rangle\) 和 \(|\psi_2\rangle\) 是系统的可能状态，那么它们的线性叠加
\[ |\psi\rangle = c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \]
也是系统的一个可能状态，其中 \(c_1\) 和 \(c_2\) 是复数。
双缝干涉实验的量子解释
态叠加原理可以解释电子双缝干涉现象：
- 电子通过缝1到达屏上的状态为 \(|\psi_1\rangle\)
- 电子通过缝2到达屏上的状态为 \(|\psi_2\rangle\)
- 当两缝都打开时，电子的状态为叠加态： \[ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\psi_1\rangle + |\psi_2\rangle) \]
- 屏上的概率分布为： \[ |\psi|^2 = \frac{1}{2}(|\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 + 2\text{Re}(\psi_1^*\psi_2)) \] 其中交叉项 \(2\text{Re}(\psi_1^*\psi_2)\) 就是干涉项，导致了干涉条纹的出现。
态叠加原理的物理意义
态叠加原理体现了量子力学与经典力学的根本区别。在量子力学中，叠加态不是状态的混合，而是一种全新的状态，具有单独状态所没有的性质。 这种叠加导致了量子力学特有的干涉和纠缠现象。
交互式示例：量子态叠加
调整两个量子态的权重，观察叠加态的概率分布变化
第2章：角动量理论
本章内容正在整理中，敬请期待...